6174 - Constante de Kaprekar

         Alguns dias depois de concluída a impressão das nossas publicações de Julho de 2017, onde nos referimos à capacidade de ver as semelhanças nas diferenças, para depois disso distinguir progressivamente as diferenças, tivemos ocasião de ler um artigo num jornal (Internet) da BBC-Brasil, sobre uma curiosidade dos números sobre a qual alguns (poucos) matemáticos se têm debruçado, havendo página Internet dedicada ao assunto. Em Portugal, em Março de 2011, o Jornal de Matemática elementar nº 292 e, no Brasil, a Revista do professor de matemática, nº 76, dedicaram-lhe um texto de análise e divulgação, na sequência da publicação em 2006, do artigo de Yutaka Nishiyama, Mysterious number 6174. Plus Magazine, nº 38, onde o autor apresenta também alguma bibliografia científica importante para o caso.

       Yutaka Nishiyama is a professor at Osaka University of Economics, Japan. After studying mathematics at the University of Kyoto he went on to work for IBM Japan for 14 years. He is interested in the mathematics that occurs in daily life, and has written seven books about the subject. The most recent one, called “The mystery of five in nature”, investigates, amongst other things, why many flowers have five petals. Professor Nishiyama is currently visiting the University of Cambridge. https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174

        O “problema” é conhecido por “Rotina de Kaprekar”, tomando o nome de quem observou e elaborou a sua descrição em 1946 – Dattathreya Ramachandra Kaprekar – referindo-se hoje o número 6174 como a constante de Kaprekar. Foi apresentado na Madras Mathematical Conference em 1949, e publicado na revista científica Scripta Mathematica em 1953, no artigo Problems involving reversal of digits. Encontrámos ainda este caso desenvolvido, com a apresentação de uma especializada bibliografia, no sítio Internet dedicado à Matemática:     http://mathworld.wolfram.com/KaprekarRoutine.html

Resultados da nossa análise

       Em toda a pesquisa científica existente até esta data (assim como nos artigos de divulgação científica do universo académico) sobre o caso em questão (6174), incluindo os trabalhos de Yutaka Nishiyama, encontra-se um erro de lógica e matemática, ao considerar apenas 8990 (ou 8991) em vez de 9990 casos possíveis, isto é, fazendo desaparecer 1000 números, ao retirar da tabela de valores possíveis todos os números iniciados por 1, 2, e 3, zeros à esquerda, como por exemplo 0001, …, 0020, …, 0500, etc., porque estes, como todos os outros casos presentes (temporários) no algoritmo, estão também presentes como imagens simétricas de valores presentes no conjunto global da sequência numérica ordenada formada por quatro algarismos, tal como 5000 é simétrico de 0005 (e vice-versa), ou 3200 é simétrico de 0023. Tal como a própria regra do algoritmo impõe. O facto é que se o número inicial for 1, isto é, 0001, ou 10, ou 100, ou 1000, a rotina os há de transformar em 1000-0001=0999, onde o zero à esquerda é fundamental… O mesmo raciocínio se aplica aos restantes casos de zero à esquerda, e, por isso mesmo, não podemos fazer desaparecer os primeiros mil números da sequência numérica em causa, que também se devem considerar como entrada válida na rotina de Kaprekar. Pelo que só podem ser excluídos os 10 números (0000, 1111, …, 9999) que resultam em valores nulos: 10000-10 = 9990. Portanto, o conjunto (quantidade de) dos números a considerar há de ser a sequência dos inteiros até 10000 (desde o zero ao 9999) retirando 10 (dos quatro zeros, aos quatro noves) de valores nulos.
      Em consequência… Torna-se fácil observar que 6174 corresponde à média e extrema razão – na proporção de ouro, – que o número 6174 ocupa o lugar da secção aurea para a sequência de números possíveis de formar com quatro dígitos (excluindo valores nulos, 0000, 1111, 2222, etc., isto é, anulando – as operações de resultado nulo – excluindo portanto 10 números).
      Considerando todos os números inteiros possíveis no algoritmo, portanto:
       INT( 9990 x Φ ) = 6174.. Isto é, 6174 é o número inteiro que se encontra no ponto da secção de ouro, na média e extrema razão, da sequência de números inteiros formados com quatro algarismos não todos iguais.
      Φ = (raiz de cinco, menos um) a dividir por dois = (0,6180339...).
      No sistema numérico de base hexadecimal (10000=decimal 65536), verifica-se que a rotina de Kaprekar não conduz a um número (inteiro hex), culminando em ciclos (na repetição) de três, ou seis números, ... Presumimos que, neste caso, não há um número inteiro em condições de obedecer ao ponto Φ da sequência numérica até FFF0 (65520 em decimal, pois 65536-16 = 65520).

      Algo semelhante acontece com os números de três algarismos, quando o resultado do algoritmo – rotina de Kaprekar – retorna sempre com 495.
      Todavia, neste caso, 495 constitui o número que se encontra no ponto médio, ou lugar mediano (1/2, metade: 0,5), da sequência de todos os números possíveis de obedecer ao algoritmo designado por rotina de Kaprekar. Portanto:   1000-10 = 990 e logo, 990 / 2 = 495.
      Os sistemas numéricos octal (base 8) e hexadecimal (16) para a sequência de três dígitos numéricos, conduzem também ao número que ocupa o ponto médio da sequência até 770 (1000=decimal 512 -8 =504) e FF0 (1000=decimal 4096 -16 =4080) respectivamente, isto é: 770 / 2 =374 (decimal 252) e FF0 / 2 =7F8 (decimal 2040). Odedecendo estes resultados às mesmas características que se apresentam ao operar com o número 495 no sistema decimal, isto é: 954-459=495, tal como (octal) 743-347=374 e (hexadecimal) F87-78F=7F8. Aliás as mesmas características que se observam na constante de kaprekar: 7641-1467=6174.
      Contudo, no sistema hexadecimal, como no octal, para um limite de quatro dígitos numéricos, não há um número (inteiro) no ponto que define a secção áurea ou que obedeça a estas mesmas condições: em que o aditivo (com os dígitos em ordem decrescente), o subtractivo (com os dígitos em ordem crescente) e a diferença, estejam compostos pelos mesmos dígitos numéricos dispostos de uma outra forma. Enquanto que, no sistema numérico de base cinco, vamos encontrar o número 3032, uma constante que, como o número 6174 (constante de Kaprekar) no sistema decimal, apresenta as mesmas características: 3320 - 0233 = 3032.

      Poderíamos ensaiar outros sistemas numéricos (como apresenta a WolframMathWorld em: http://mathworld.wolfram.com/KaprekarRoutine.html , onde afinal se verificam erros primários na arquitectura e programação da rotina, na programação das cadeias de dígitos – zeros à esquerda – e ou na subtração numérica, inclusivamente na base decimal) e em algum deles encontrar, ou não, a mesma relação que tem o número 6174 no sistema decimal, mas tal tarefa exaustiva pertence aos especialistas. A nossa experiência limita‑se ao sistema binário, octal, decimal, hexadecimal e de base 256. Esta última (aqui sem cabimento devido aos símbolos numéricos – dígitos – necessários), usámos no programa de processamento, de facto automático, de horários para duzentos professores e uma centena de turmas, num Sinclair ZX-Spectrum de 48Kbytes de memória total, a partir de 1983 (entre 1983/84 e 1986/87).

      Assim, em termos práticos, as operações e sua sequência ordenada – o fluxo dinâmico de operações consideradas por Kaprekar – o algoritmo, ao processar um qualquer número agrupando um máximo de três ou quatro algarismos, apenas conduz a encontrar o ponto de separação ou corte da sequência numérica – no primeiro caso (de três algarismos) o ponto médio, no segundo caso (de quatro algarismos) a secção de ouro, a média e extrema razão – da sequência de números que podemos formar com a quantidade de algarismos disponíveis em cada caso, no primeiro 990, no segundo 9990.

Reposição: o problema de facto

      A simetria constitui parte da essência do problema: ordenar os algarismos de um número obtendo dois números, um por ordem crescente, o outro pela decrescente. Subtrair do maior o menor, e repetir as mesmas operações com o número resultante. Além disso, em termos conceptuais, a rotina de Kaprekar não se fixa apenas nos valores numéricos dos conjuntos de algarismos e dos valores próprios dos algarismos de per si, mas sobretudo na sua decomposição e reorganização ordenada dos algarismos que compõem o número; obtendo dois conjuntos de algarismos, simétricos, criando dois novos valores numéricos, aos quais aplica uma operação de subtracção para obter um novo número, onde os zeros à esquerda são obrigatórios (obedecendo às regras do sistema numérico) para dar continuidade ao algoritmo, tal como seria de esperar, aqui como na concepção do todo do problema.
      O sistema numérico é posicional e a introdução do zero foi uma das grandes conquistas da humanidade, o zero veio ocupar os lugares vazios, o lugar das dezenas, centenas, milhares, etc., quando nulos. Embora na prática não se representem nem se pronunciem, os zeros não deixam de existir nos espaços vazios, eles existem de facto, pois a concepção do sistema numérico assim o exige e determina. Na realidade, os zeros à esquerda estão sempre lá como lugares vazios, em qualquer valor numérico, e estão lá até ao infinito, tanto como estão do outro lado, à direita do ponto marcador das unidades.

      Tenha-se em atenção que, embora estejamos habituados a fazer a leitura numérica da esquerda para a direita, a leitura e escrita mais correcta dos números devia ser feita da direita para a esquerda, começando pelas unidades, dezenas, centenas, milhares, etc., e assim a inutilidade de representar o zero (na origem o lugar vazio) no infinito espaço vazio para além do valor que se pretende representar, pois, se assim não fosse, teriam de se acrescentar zeros até ao infinito. E do mesmo modo para os valores menores que zero.
     Note-se, portanto, que um número composto por quatro algarismos será sempre um número que será representado necessariamente pelas quatro posições, a saber: o lugar (casa) das unidades, o lugar (casa) das dezenas, o lugar (casa) das centenas e o lugar (casa) dos milhares. E, como sabemos, o zero foi introduzido no sistema numérico como um algarismo para ocupar os lugares, ou casas vazias.

       Na verdade podíamos espelhar o sistema numérico que, actualmente e em consequência das suas origens históricas, alinha as unidades pela direita, crescendo à esquerda, de modo a alinhar as unidades pela esquerda, crescendo à direita, de modo simétrico ao que hoje usamos, que nada se ia alterar, a não ser, criar alguma complexidade para a nossa visão e concepção do sistema.

      Contudo, é de certo modo uma utilização aparente (só aparente) desta simetria que permite à rotina de Kaprekar obter os números 495 (o ponto médio da sequência numérica de três algarismos) e 6174 (o ponto correspondente à média e extrema razão na sequência numérica de quatro algarismos).

Conclusão

      Resolvida a questão de lana caprina pela detecção das semelhanças (entre a rotina de kaprekar e os algoritmos de busca e ordenação, como com a geometria e até a aproximação numérica de 6174 com 0,618033…) evidenciam-se claramente as reais diferenças na observação (o ponto médio e a média e extrema razão), criando de facto o problema, seja ele de menor importância, mas um problema de diferenciação, porque um problema matemático existe que caberá aos especialistas na matéria resolver. Contudo o problema estará em explicar porque é que no primeiro caso resulta o ponto médio, no segundo a média e extrema razão, e nos restantes casos, 5, 6, 7, 8, 9 e ou 10 algarismos, que resposta encontrar perante os resultados fornecidos pelo mesmo algoritmo. E, ou, em que bases numéricas, e com que número de dígitos, se verifica o caso de a diferença ser composta pelos mesmos dígitos numéricos do aditivo como do subtractivo, dispostos de uma outra forma.

      Porquê esta questão real (de resultado tão trivial) e aparentemente tão estranha ao trabalho sobre as peças de Teatro de Gil Vicente?

      Porque há de servir para exemplo do que temos afirmado noutras intervenções realizadas em publicações sobre as peças do dramaturgo, como o que afirmámos no Ensaio sobre a crítica, (Gil Vicente, Inês Pereira) e em Gil Vicente, Pastoril Português, (2017), sobre a Educação e Ensino, pela necessidade de um Ver a nível mais alto, Ver as semelhanças – criar e captar a metáfora – mais além do diferenciar das diferenças do cientista, o Ver do artísta.
Porque o caso elementar 6174, na sua essência não difere dos problemas complexos que enfrenta a humanidade (o zero), e estará acessível a qualquer pessoa alheia à matemática, tornando claro que, para ultrapassar o nível do racional, é necessário Ver as semelhanças (no extremo, a metáfora) – na concepção coetânea a Gil Vicente – alcançando o patamar superior do pensamento, para depois descer e explicar o de facto racional numa perspectiva mais ampla, dando conta do sistema de relações existente. Porque, para além de observar bem cada árvore, é preciso Ver a floresta sem nela nos perdermos.
      Porque, em geral, como no caso 6174 (desde 1949, mesmo com os computadores, a Internet e a inteligência artificial), os mais aficionados da lógica e do racional (os cientistas) fixando-se nas diferenças, ficaram (ficam) impossibilitados de Ver as semelhanças e por isso incapazes de saltar ao patamar superior (Platão) da Dialéctica e da Arte. A sua saída da Caverna há de se fazer linearmente acompanhada da demonstração passo a passo, clarificando o sistema de relações existente ao encarar cada problema. Todavia, no caso da Arte a dificuldade será sempre exponencialmente maior, porque a formação nesta área do conhecimento é pratica ou completamente nula, mesmo nos meios académicos da especialidade ou das disciplinas artísticas.

      Assim, no caso de O Velho da Horta, como nos outros casos das peças de Gil Vicente, há que dar a Ver – aquilo que os cientístas consideram inaceitável porque lhes é extremamente difícil de Ver – as semelhanças da trama (o sistemas de relações existente no universo da acção dramática, pelo espaço dramático, pelo enredo e entre as suas personagens), com o sistema de relações (múltiplas) sociais, históricas e culturais, existente no (mundo) universo real (que conduzem à criação do mythos) traduzidas pelo universo cultural a que o autor tem acesso, tanto como pelo meio envolvente de produção, condicionante da sua representação figurativa (e espaço dramático), como também às motivações da peça, e sobretudo, dos processos que determinam a cada passo a concepção da obra de Arte, o que ainda vamos deixando em suspenso.
      Uma segunda edição do nosso trabalho sobre O Velho da Horta, resulta de um erro que cometemos na primeira edição, onde falhámos na identificação da figura representada no Parvo. De facto Erasmo de Roterdão e não qualquer outro clérigo ou Cardeal.

      Sobre a Ciência, ou melhor, o actual cientismo, lembramos que numa Conferência intitulada “A cultura integral do indivíduo – problema central no nosso tempo” realizada na inauguração da actividade da União Cultural “Mocidade livre” em 25 de Maio de 1933, já afirmava Bento de Jesus Caraça:

(…)
      Não estará errado pela base o título e intenção desta conferência? É o nosso tempo susceptível de mais do que pequenos problemas parcelares sem conexão uns com os outros e reflectindo, na sua pulverização, o amorfismo actual?
      É a estas perguntas, que a mim mesmo tenho posto com angústia, que vou procurar dar uma resposta. Para ela, não reivindico outra categoria de valor que não seja a honestidade com que foi procurada. Sei demasiado, para que outro mérito pretenda ver-lhe atribuído, quanto são falíveis ainda os juízos mais prudentes, e, se não receio o erro, é só porque estou sempre pronto a corrigi-lo.
(…)    Bento de Jesus Caraça.
      Texto da Conferência republicado em Separata da “Gazeta de Matemática” nº 129-132, Lisboa 1976. (Sublinhado nosso).

Faro, 7 de Agosto de 2017.
Noémio Ramos

- Livros publicados no âmbito desta investigação, da autoria de Noémio Ramos:

(2019) - Gil Vicente, Auto das Barcas, Inferno - Purgatório - Glória.
(2018) - Sobre o Auto das Barcas de Gil Vicente, Inferno, ...a interpretação -1.
(2017) - Gil Vicente, Aderência do Paço, ...da Arcádia ao Paço.
(2017) - Gil Vicente, Frágua de Amor, ...a mercadoria de Amor.
(2017) - Gil Vicente, Feira (das Graças), ...da Banca Alemã (Fugger).
(2017) - Gil Vicente, Os Físicos, ...e os amores d'el-rei.
(2017) - Gil Vicente, Vida do Paço, ...a educação da Infanta e o rei.
(2017) - Gil Vicente, Pastoril Português, Os líderes na Arcádia.
(2017) - Gil Vicente, Inês Pereira, As Comunidades de Castela.
(2017) - Gil Vicente, Tragédia Dom Duardos, O príncipe estrangeiro.
(2015) - Gil Vicente, Auto dos Quatro Tempos, Triunfo do Verão - Sagração dos Reis Católicos.
(2015) - Gil Vicente, Auto dos Reis Magos, ...(festa) Cavalgada dos Reis.
(2014) - Gil Vicente, Auto Pastoril Castelhano, A autobiografia em 1502.
(2013) - Gil Vicente, Exortação da Guerra, da Fama ao Inferno, 1515.
(2012) - Gil Vicente, Tragédia de Liberata, do Templo de Apolo à Divisa de Coimbra.
(2012) - Gil Vicente, O Clérigo da Beira, o povo espoliado - em pelota.
(2010) - Gil Vicente, Carta de Santarém, 1531 - Sobre o Auto da Índia.
- Gil Vicente, O Velho da Horta, de Sibila Cassandra à "Tragédia da Sepultura" (2ª Edição, 2017)
(2010) - Gil Vicente, O Velho da Horta, de Sibila Cassandra à "Tragédia da Sepultura".
(2010) - Gil Vicente, Auto da Visitação. Sobre as origens.
(2008) - Gil Vicente e Platão - Arte e Dialéctica, Íon de Platão.
- Gil Vicente, Auto da Alma, Erasmo, o Enquiridion e Júlio II... (2ª Edição, 2012)
(2008) - Auto da Alma de Gil Vicente, Erasmo, o Enquiridion e Júlio II...

- Outras publicações:
(2003) - Francês - Português, Dicionário do Tradutor. - Maria José Santos e A. Soares.
(2005) - Os Maios de Olhão e o Auto da Lusitânia de Gil Vicente. - Noémio Ramos.

(c) 2008 - Sítio dedicado ao Teatro de Gil Vicente - actualizado com o progresso nas investigações.